Question

已知函数f（x）=2x³+3ax²+1（x∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在闭区间[0，2]的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=6x²+6ax，
因为f（x）在x=1处取得极值，所以f'（1）=0，解得a=-1．（2分）
（Ⅱ）f'（x）=6x（x+a），
①当-a=0时，f'（x）=6x²≥0，则f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
②当-a＜0，即a＞0时，由f'（x）=6x（x+a）＞0
得x＜-a或x＞0，所以f（x）的单调增区间为（-∞，-a）和（0，+∞）；
由f'（x）=6x（x+a）＜0得-a＜x＜0，
所以f（x）的单调减区间为（-a，0）；
③当-a＞0即a＜0时，
由f'（x）=6x（x+a）＞0得x＞-a或x＜0，
所以f（x）的单调增区间为（-∞，0）和（-a，+∞）；
由f'（x）=6x（x+a）＜0，得0＜x＜-a，
所以f（x）的单调减区间为（0，-a）．
综上所述，当a=0时，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（-∞，-a）和（0，+∞），f（x）的单调减区间为（-a，0）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为（-∞，0）和（-a，+∞），f（x）的单调减区间为（0，-a）．（8分）
（Ⅲ）①当-a≤0即a≥0时，由（Ⅱ）可知，f（x）在[0，2]上单调递增，
所以f（x）的最小值为f（0）=1；
②当0＜-a＜2，即-2＜a＜0时，由（Ⅱ）可知，f（x）在[0，-a）上单调递减，在（-a，2]
上单调递增，所以f（x）的最小值为f（-a）=a³+1；
③当-a≥2即a≤-2时，由（Ⅱ）可知，f（x）在[0，2]上单调递减，
所以f（x）的最小值为f（2）=17+12a．
综上所述，当a≥0时，f（x）的最小值为f（0）=1；-2＜a＜0时，f（x）的最小值为f（-a）=a³+1；a≤-2时，f（x）的最小值为f（2）=17+12a．（14分）