Question

12．在平面直角坐标系中，动圆经过点M（a-2，0），N（a+2，0），P（0，-2），其中a∈R．
（1）求动圆圆心的轨迹E的方程；
（2）过点P作直线l交轨迹E于不同的两点A、B，直线OA与直线OB分别交直线y=2于两点C、D，记△ACD与△BCD的面积分别为S₁，S₂．求S₁+S₂的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用直接法求动圆圆心的轨迹E的方程；
（2）直线l的斜率一定存在，设l的方程为y=kx-2，求出S₁，S₂．利用导数的方法求S₁+S₂的最小值．

解答 解：（Ⅰ）设动圆圆心的坐标为（x，y），则$\sqrt{{y}^{2}+4}=\sqrt{（x-0）^{2}+（y+2）^{2}}$，可知$y=-\frac{1}{4}{x}^{2}$．
所以动圆圆心的轨迹E的方程 $y=-\frac{1}{4}{x}^{2}$．…（4分）
（Ⅱ）直线l的斜率一定存在，设l的方程为y=kx-2，
与抛物线方程联立，得x²+4kx-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-4k，x₁x₂=-8，
设直线OA方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，
y=2，得C的横坐标-$\frac{8}{{x}_{1}}$．
同理得D的横坐标-$\frac{8}{{x}_{2}}$，
所以|CD|=|$\frac{8（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$|=4$\sqrt{{k}^{2}+2}$，
所以S₁=$\frac{1}{2}|CD||2-{y}_{1}|$=2（4-kx₁）$\sqrt{{k}^{2}+2}$，
同理S₂=2（4-kx₂）$\sqrt{{k}^{2}+2}$，
则S₁+S₂=8$（{k}^{2}+2）\sqrt{{k}^{2}+2}$…（10分）
令t=$\sqrt{{k}^{2}+2}$，（t≥$\sqrt{2}$），则S₁+S₂=8t³
令f（t）=8t³，则f′（t）=24t²，t$＞\sqrt{2}$时，f′（t）＞0
所以f（t）=8t³是[$\sqrt{2}，+∞$）的增函数，所以f（t）$≥16\sqrt{2}$，
即S₁+S₂的最小值为16$\sqrt{2}$…（12分）

点评 本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，考查导数知识的综合运用，属于中档题．