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平面内动点P到点F(10)的距离等于它到直线x=-1的距离,记点P的轨迹为曲线Γ.

(1)求曲线Γ的方程;

(2)若点ABCΓ上的不同三点,且满足0,证明:ABC不可能为直角三角形.

 

1y24x2不可能是直角三角形

【解析】(1)由条件可知,点P到点F(10)的距离与到直线x=-1的距离相等,所以点P的轨迹是以F(10)为焦点,x=-1为准线的抛物线,其方程为y24x.

(2)证明:方法一,假设ABC是直角三角形,且A90°

A(x1y1)B(x2y2)C(x3y3),则

(x2x1y2y1)(x3x1y3y1),且·0

所以(x2x1)(x3x1)(y2y1)(y3y1)0.

因为xi(i123)y1y2y1y3

所以(y1y2)(y1y3)160.

又因为0,所以x1x2x33y1y2y30

所以y2y3=-16

4(x1x2x3)12

所以(y2y3)212,即y2y36

①②166,即222560

因为Δ(22)24×256=-540<0.

所以方程无解,从而ABC不可能是直角三角形.

方法二,设A(x1y1)B(x2y2)C(x3y3),由0

x1x2x33y1y2y30.欲证ABC不是直角三角形,只需证明A≠90°.

(ⅰ)ABx轴时,x1x2y1=-y2,从而x332x1y30

即点C的坐标为(32x10)

由于点Cy24x上,所以32x10,即x1

此时ABC(00),则A≠90°.

(ⅱ)ABx轴不垂直时,设直线AB的方程为xtym(t≠0),代入y24x,整理得y24ty4m0,则y1y24t.

A90°,则直线AC的斜率为-t,同理可得y1y3=-.

y1y2y30,得y14ty2y3=-4t.

x1x2x33,可得4(x1x2x3)12.

从而(4t)212

整理得t2,即8t411t280

Δ(11)24×8×8=-135<0.

所以方程无解,从而A≠90°.

综合(ⅰ)(ⅱ)可知,ABC不可能是直角三角形.

 

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