Question

11．在ABCD中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB-sinC），$\overrightarrow{n}$=（a-$\sqrt{3}$b，b+c），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角C的值；
（2）若△ABC外接圆半径为2，面积为$\sqrt{3}$且a＞b，求a，b．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积以及正弦、余弦定理，即可求出角C的值；
（2）由正弦、余弦定理和三角形的面积公式，列出方程组求出a、b的值．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB-sinC），$\overrightarrow{n}$=（a-$\sqrt{3}$b，b+c），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$sin{A}（{a-\sqrt{3}b}）+（{sin{B}-sinC}）（{b+c}）=0$，
由正弦定理得$a（{a-\sqrt{3}b}）+（{b-c}）（{b+c}）=0$，
即${a^2}+{b^2}-{c^2}=\sqrt{3}ab$，
由余弦定理得$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又C∈（0，π），
所以$C=\frac{π}{6}$；…（6分）
（2）由正弦定理可得$\frac{c}{sinC}=2R=4$，
∴c=2sinC=2，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{ab}{4}=\sqrt{3}$，
解得$ab=4\sqrt{3}$…①，
由余弦定理得，
${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcosC={a^2}+{b^2}-2×4\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}={a^2}+{b^2}-12=4$，
∴a²+b²=16…②，
联立 ①②可解得
$a=2\sqrt{3}，b=2$或$a=2，b=2\sqrt{3}$，
由于a＞b，
所以$a=2\sqrt{3}，b=2$．…（12分）

点评 本题考查了平面向量的数量积以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．