【题目】对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]D,同时满足:
①f(x)在[m,n]内是单调函数;
②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n].则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.
(1)证明:[0,1]是函数y=f(x)=x2的一个“和谐区间”.
(2)求证:函数不存在“和谐区间”.
(3)已知:函数(a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],当a变化时,求出n﹣m的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】
试题分析:(1)根据二次函数的性质,在区间上单调递增,且值域也为
满足“和谐区间”的定义,即可得到结论;(2)该问题是一个确定性问题,从正面证明有一定的难度,故可采用反证法来进行证明;(3)设
是已知函数定义域的子集,我们可以用
表示出
的取值,转化为二次函数的最值问题后,根据二次函数的性质,可以得到答案.
试题解析:(1)y=x2在区间[0,1]上单调递增.
又f(0)=0,f(1)=1,
值域为[0,1],
区间[0,1]是y=f(x)=x2的一个“和谐区间”.
(2)设[m,n]是已知函数定义域的子集.
故函数
在[m,n]上单调递增.
若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则
故m、n是方程的同号的相异实数根.
x2﹣3x+5=0无实数根,
函数
不存在“和谐区间”.
(3)设[m,n]是已知函数定义域的子集.
x≠0,
故函数在[m,n]上单调递增.
若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则
故m、n是方程,即
的同号的相异实数根.
,
m,n同号,只须
,即a>1或a<﹣3时,
已知函数有“和谐区间”[m,n],
当a=3时,n﹣m取最大值
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【题目】在平面直角坐标系中,圆
:
,
,
,
为平面内一动点,若以线段
为直径的圆与圆
相切.
(1)证明为定值,并写出点
的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线
,直线
过
交
于
,
两点,过
且与
垂直的直线与
交于
,
两点,求四边形
面积的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
过点
,其参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若曲线与
相交于
,
两点,求
的值.
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【题目】下列推理不属于合情推理的是( )
A. 由铜、铁、铝、金、银等金属能导电,得出一切金属都能导电.
B. 半径为的圆面积
,则单位圆面积为
.
C. 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质.
D. 猜想数列2,4,8,…的通项公式为.
.
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【题目】如果存在函数(
为常数),使得对函数
定义域内任意
都有
成立,那么称
为函数
的一个“线性覆盖函数”.给出如下四个结论:
①函数存在“线性覆盖函数”;
②对于给定的函数,其“线性覆盖函数”可能不存在,也可能有无数个;
③为函数
的一个“线性覆盖函数”;
④若为函数
的一个“线性覆盖函数”,则
其中所有正确结论的序号是___________
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【题目】已知函数(
,且
).
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求函数在
上的最大值.
【答案】(Ⅰ)的单调增区间为
,单调减区间为
.(Ⅱ)当
时,
;当
时,
.
【解析】【试题分析】(I)利用的二阶导数来研究求得函数
的单调区间.(II) 由(Ⅰ)得
在
上单调递减,在
上单调递增,由此可知
.利用导数和对
分类讨论求得函数在
不同取值时的最大值.
【试题解析】
(Ⅰ),
设
,则
.
∵,
,∴
在
上单调递增,
从而得在
上单调递增,又∵
,
∴当时,
,当
时,
,
因此, 的单调增区间为
,单调减区间为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得在
上单调递减,在
上单调递增,
由此可知.
∵,
,
∴.
设,
则
.
∵当时,
,∴
在
上单调递增.
又∵,∴当
时,
;当
时,
.
①当时,
,即
,这时,
;
②当时,
,即
,这时,
.
综上, 在
上的最大值为:当
时,
;
当时,
.
[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与轴的位置关系,进而确定参数的取值范围;或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆
的普通方程为
. 在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ) 写出圆 的参数方程和直线
的直角坐标方程;
( Ⅱ ) 设直线 与
轴和
轴的交点分别为
,
为圆
上的任意一点,求
的取值范围.
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【题目】已知幂函数f(x)=,其中2<m<2,m∈Z,满足:
(1)f(x)是区间(0,+∞)上的增函数;
(2)对任意的x∈R,都有f(x) +f(x)=0.
求同时满足条件(1)、(2)的幂函数f(x)的解析式,并求x∈[0,3]时,f(x)的值域.
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