Question

8．已知f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{2}{x}-3，（0＜x≤1）}\\{lg（{x^2}+1），（x＞1）}\end{array}}$，则f（f（3））=0，f（x）的最小值是0．

Answer 1

分析 由分段函数的解析式，结合对数的运算，可得f（f（3））；分别讨论0＜x≤1，x＞1的函数的单调性，即可得到最小值．

解答 解：f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{2}{x}-3，（0＜x≤1）}\\{lg（{x^2}+1），（x＞1）}\end{array}}$，
可得f（3）=lg（3²+1）=lg10=1，
f（f（3））=f（1）=1+2-3=0；
当0＜x≤1时，f（x）=x+$\frac{2}{x}$-3的导数为f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$＜0，
即有f（x）递减，则f（1）最小，且为0；
当x＞1时，f（x）=lg（1+x²）递增，即有f（x）＞f（1）=lg2＞0．
则有f（x）的最小值为0．
故答案为：0，0．

点评 本题考查分段函数的运用，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．