已知在直角坐标系xOy中.直线1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=4+tsinα}\end{array}\right.$.以坐标原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ-4sinθ=0．(1)当α=$\frac{3π}{4}$时.求直线l与曲线C的交点的极坐标,(2)若直线l与曲线C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．已知在直角坐标系xOy中，直线1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=4+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α∈R），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ-4sinθ=0．
（1）当α=$\frac{3π}{4}$时，求直线l与曲线C的交点的极坐标；
（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，且|AB|=2$\sqrt{3}$，求直线l的倾斜角．

分析（1）运用极坐标和直角坐标的关系，化曲线C为普通方程，求出直线方程，代入曲线方程，解方程可得交点坐标，再转化为极坐标；
（2）运用弦长公式和点到直线的距离公式，结合直线的斜率公式，可得倾斜角．

解答解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ-4sinθ=0，即为：
ρ²=4ρsinθ，即有x²+y²-4y=0，
当α=$\frac{3π}{4}$时，直线的斜率为-1，直线l的方程为y-4=-x，
联立直线方程和圆的方程，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
对应的极坐标为（4，$\frac{π}{2}$），（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）；
（2）由（1）曲线C表示圆心为（0，2），半径为2的圆，
由弦长公式可得2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$，
解得d=1，
设直线AB的方程为y-4=kx，（k=tanα），
即有d=$\frac{|0-2+4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=±$\sqrt{3}$，
则直线l的倾斜角为$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

点评本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系，以及弦长公式的运用，属于中档题．

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B．

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