Question

1．设二次函数f（x）=ax²-2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$的最大值是（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 根据二次函数的图象和性质，可得c=$\frac{1}{a}$，a＞0，结合基本不等式，可得$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$的最大值．

解答 解：∵二次函数f（x）=ax²-2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=4-4ac=0\end{array}\right.$，
故c=$\frac{1}{a}$，a＞0，
故$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$=$\frac{1}{\frac{1}{a}+1}$+$\frac{9}{a+9}$=$\frac{a+\frac{9}{a}+18}{a+\frac{9}{a}+10}$=$\frac{8}{a+\frac{9}{a}+10}$+1≤$\frac{8}{2\sqrt{a•\frac{9}{a}}+10}$+1=$\frac{3}{2}$，
当且仅当a=3时，$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$的最大值取$\frac{3}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．