Question

11．已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，B={x|$\frac{x-2a}{x-（{a}^{2}+1）}$＜0}．
（1）当a=2时，求A∩B；
（2）命题p：x∈A；命题q：x∈B．￢p是￢q的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，由（x-2）（x-7）＜0，可得A．由$\frac{x-4}{x-5}＜$0，可得（x-4）（x-5）＜0，可得B．即可得出A∩B．
（2）￢p是￢q的充分条件，可得q是p的充分条件．B=（2a，a²+1），对a分类讨论即可得出．

解答 解：（1）当a=2时，由（x-2）（x-7）＜0，解得2＜x＜7，∴A=（2，7）．
由$\frac{x-4}{x-5}＜$0，可得（x-4）（x-5）＜0，解得4＜x＜5，∴B=（4，5）．
∴A∩B=（4，5）．
（2）￢p是￢q的充分条件，∴q是p的充分条件．
∵B=（2a，a²+1），
当$a＜\frac{1}{3}$时，A=（3a+1，2），
要使B⊆A，必须$\left\{\begin{array}{l}{2a≥3a+1}\\{{a}^{2}+1≤2}\end{array}\right.$，此时a=-1；
当a=$\frac{1}{3}$时，A=∅，使B⊆A的a不存在；
当a$＞\frac{1}{3}$时，A=（2，3a+1）
要使B⊆A，必须$\left\{\begin{array}{l}2a≥2\\{a}^{2}+1≤3a+1\end{array}\right.$，此时1≤a≤3．
综上可知，使B⊆A的实数a的取值范围为[1，3]∪{-1}．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．