Question

17．在△ABC，a=2，（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，求△ABC的面积的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，把a=2代入整理得到关系式，利用余弦定理表示出cosA，将得出关系式代入求出cosA的值，进而确定出sinA的值，再利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出面积的最大值．

解答 解：把（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
利用正弦定理化简得：（2+b）（a-b）=c（c-b），
把a=2代入得：a²-b²=c²-bc，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵b²+c²=a²+bc=4+bc≥2bc，即bc≤4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4=$\sqrt{3}$，
则△ABC的面积的最大值为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．