Question

8．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x{e}^{x}+1}$，当x＞0时，不等式f（x）＞$\frac{1}{a{x}^{2}+1}$恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 利用分离常数法，求出a的不等式，构造函数g（x），求出g（x）的取值范围即得a的取值范围

解答 解：当x＞0时，不等式f（x）＞$\frac{1}{a{x}^{2}+1}$恒成立，
即为当x＞0时，x+$\frac{1}{{e}^{x}}$＜ax²+1恒成立，
即a＞$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}{e}^{x}}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
设g（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}{e}^{x}}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，其中x＞0，
∴g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{x+2}{{x}^{3}{e}^{x}}$+$\frac{2}{{x}^{3}}$＜0在x＞0恒成立，
g（x）在（0，+∞）上是单调减函数；
∴0＜g（x）＜$\frac{1}{2}$，即a≥$\frac{1}{2}$；
∴实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用导数判断函数的单调性，不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，是综合性题目．