Question

16．设min（x₁，x₂，…，x_n）表示x₁，x₂，…，x_n中最小的一个，max（x₁，x₂，…，x_n）表示x₁，x₂，…，x_n中最大的一个，给出下列命题：
①min{x²，x-1}=x-1；
②设a，b∈R，a≠0，|a|≠|b|，有min{|a|-|b|，$\frac{{|{a^2}-{b^2}|}}{|a|}$}=|a|-|b|；
③设a，b∈R⁺，有$min\{a，\frac{2b}{{{a^2}+{b^2}}}\}$的最大值为1；
④a，b∈R，max{|a+b|，|a-b|，|2014-b|}≥1007
其中所有正确命题的序号有（　　）

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据已知中min（x₁，x₂，…，x_n）表示x₁，x₂，…，x_n中最小的一个，max（x₁，x₂，…，x_n）表示x₁，x₂，…，x_n中最大的一个，分析四个结论的真假，可得答案．

解答 解：x²-（x-1）=x²-x+1＞0恒成立，故min{x²，x-1}=x-1，故①正确；
②设a，b∈R，a≠0，|a|≠|b|，
若|a|＜|b|，则|a|-|b|＜0，$\frac{{|{a^2}-{b^2}|}}{|a|}$＞0，
则min{|a|-|b|，$\frac{{|{a^2}-{b^2}|}}{|a|}$}=|a|-|b|；
若|a|＞|b|，则|a|-|b|＞0，
$\frac{{|{a^2}-{b^2}|}}{|a|}$=$\frac{|{a|}^{2}-{\left|b\right|}^{2}}{|a|}$=$\frac{（|{a|}^{\;}-{\left|b\right|}^{\;}）（|{a|}^{\;}+{\left|b\right|}^{\;}）}{|a|}$＞|a|-|b|，
则min{|a|-|b|，$\frac{{|{a^2}-{b^2}|}}{|a|}$}=|a|-|b|；
综上：min{|a|-|b|，$\frac{{|{a^2}-{b^2}|}}{|a|}$}=|a|-|b|恒成立，故②正确；
③设a，b∈R⁺，
若a=1，则$\frac{2b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{2b}{1+{b}^{2}}$≤$\frac{2b}{2b}$=1，此时$min\{a，\frac{2b}{{{a^2}+{b^2}}}\}$≤1，
若a＞1，则$\frac{2b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$＜$\frac{2b}{1+{b}^{2}}$≤$\frac{2b}{2b}$=1，此时$min\{a，\frac{2b}{{{a^2}+{b^2}}}\}$＜1，
若0＜a＜1，则$min\{a，\frac{2b}{{{a^2}+{b^2}}}\}$＜1，
综上所述，当且仅当a=b-1时$min\{a，\frac{2b}{{{a^2}+{b^2}}}\}$的最大值为1，故③正确；
④a，b∈R，max{|a+b|，|a-b|，|2014-b|}≥1007，
当b≤1007，或b≥3021时，|2014-b|≥1007，
此时max{|a+b|，|a-b|，|2014-b|}≥1007，
当1007＜b＜3021，a≥0时，|a+b|＞1007，
当1007＜b＜3021，a＜0时，|a-b|＞1007，
综上max{|a+b|，|a-b|，|2014-b|}≥1007，
当且仅当a=0，b=1007时，取等号，故④正确．
故正确的命题的序号为：①②③④，
故选：D

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．