Question

11．下列命题中假命题的序号是①②④      
①x=0是函数y=x³的极值点；
②函数f（x）=x³-ax²+3ax+1有极值的必要不充分条件是a≥2013；
③奇函数f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n在区间（-4，4）上是单调减函数；
④若双曲线的渐近线方程为$y=±\sqrt{3}x$，则其离心率为2．

Answer 1

分析 根据3次幂函数的图象和性质，可判断①；求出函数f（x）=x³-ax²+3ax+1有极值的充要条件，可判断②；根据函数f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n是奇函数，求出函数的解析式，进而分析其在区间（-4，4）上的单调性，可判断③；根据双曲线的渐近线方程，求出双曲线的离心率，可判断④．

解答 解：函数y=x³在R上为增函数，不存在极值点，故①错误；
函数f（x）=x³-ax²+3ax+1有极值?f′（x）=3x²-2ax+3a=0有两个不等的实数根?△=4a²-36a＞0?a＜0，或a＞9，
故a≥2013是函数f（x）=x³-ax²+3ax+1有极值的充分不必要条件，故②错误；
奇函数f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n满足m-1=n=0，
即f（x）=x³-48x，由f′（x）=3x²-48得，当x∈（-4，4）时，f′（x）＜0恒成立，则函数f（x）为减函数，故③正确；
若双曲线的渐近线方程为$y=±\sqrt{3}x$．若双曲线的焦点在x轴上，则离心率e=2； 若双曲线的焦点在y轴上，则离心率e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故④错误；
故假命题的序号为：①②④
故答案为：①②④

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．