Question

15．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃=-51，S₅=-70．
（1）求{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（2）求数列{|a_n|}的前14项和T₁₄．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a₁和d的方程组，解方程组可得；
（2）可得等差数列{a_n}的前7项为负数，从第8项开始为正数，去绝对值可得T₁₄=S₁₄-2S₇，代值计算可得．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意可得S₃=3a₁+$\frac{3×2}{2}$d=-51，S₅=5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=-70．
联立解得a₁=-20，d=3，
∴a_n=-20+3（n-1）=3n-23，
S_n=-20n+3×$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{43}{2}$n；
（2）令a_n=3n-23≥0可解得n≥$\frac{23}{3}$，
∴等差数列{a_n}的前7项为负数，从第8项开始为正数，
∴数列{|a_n|}的前14项和T₁₄=-（a₁+a₂+…+a₇）+（a₈+a₉+…+a₁₄）
=（a₁+a₂+…+a₇）+（a₈+a₉+…+a₁₄）-2（a₁+a₂+…+a₇）
=S₁₄-2S₇=147

点评 本题考查等差数列的求和公式和一般数列求和公式，转化为等差数列的求和公式是解决问题的关键，属中档题．