Question

4．下列四种说法中正确的是③④
①若复数z满足方程z²+2=0，则z³=-2$\sqrt{2}$i；
②线性回归方程对应的直线$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$一定经过其样本数据点（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）中的一个点；
③若（1-2x）²⁰¹²=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²（x∈R），则$\frac{a_1}{2}$+$\frac{a_2}{2^2}$+…+$\frac{{{a_{2012}}}}{{{2^{2012}}}}$=-1；
④用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是2（2k+1）．

Answer 1

分析 根据复数的运算性质，可判断①；根据回归直线的几何特征，可判断②；令x=$\frac{1}{2}$，结合组合数公式，可判断③；根据数学归纳法的步骤，可判断④．

解答 解：①若复数z满足方程z²+2=0，则z²=-2，z=$±\sqrt{2}i$，z³=±2$\sqrt{2}$i，故①错误；
②线性回归方程对应的直线$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$一定经过其样本中心数据点（$\overline{x}，\overline{y}$），但可能不经过任一个数据点，故②错误；
③若（1-2x）²⁰¹²=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²，令x=$\frac{1}{2}$，则（1-2x）²⁰¹²=a₀+$\frac{a_1}{2}$+$\frac{a_2}{2^2}$+…+$\frac{{{a_{2012}}}}{{{2^{2012}}}}$=1+$\frac{a_1}{2}$+$\frac{a_2}{2^2}$+…+$\frac{{{a_{2012}}}}{{{2^{2012}}}}$=0，则$\frac{a_1}{2}$+$\frac{a_2}{2^2}$+…+$\frac{{{a_{2012}}}}{{{2^{2012}}}}$=-1，故③正确；
④用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）时，、
若n=k时成立，则（k+1）（k+2）…（k+k）=2^k•1•3…（2k-1）
则n=k+1时，应有（k+2）（k+2）…（k+k）（k+k+1）（k+k+2）=2^k+1•1•3…（2k+1）
则从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是2（2k+1），故④正确．
故说法正确的是：③④，
故答案为：③④

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．