Question

7．下列几种说法：
①在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B；
②等差数列{a_n}中，若a₁，a₃，a₄成等比数列，则公比为$\frac{1}{2}$；
③已知x＞0，y＞0，且x+y=1，则$\frac{2}{x}$+$\frac{8}{y}$的最小值为18；
④在△ABC中，已知$\frac{a}{cosA}$=$\frac{b}{cosB}$=$\frac{c}{cosC}$，则∠A=60°；
⑤数列{a_n}的前n项和S_n=n²-2n+1，则数列{a_n}是等差数列．
正确的序号有①③④．

Answer 1

分析 由正弦定理和三角形的边角关系，即可判断①；由等差数列的通项和等比数列的性质，化简计算即可判断②；运用乘1法和基本不等式，即可得到最小值，即可判断③；运用正弦定理和同角公式，即可判断④；
运用数列的通项和求和的关系，即可判断⑤．

解答 解：对于①，在△ABC中，若sinA＞sinB，则2rsinA＞2rsinB，即a＞b，则A＞B，故①正确；
对于②，等差数列{a_n}中，若a₁，a₃，a₄成等比数列，则a₃²=a₁a₄，（d为公差），
即有（a₁+2d）²=a₁（a₁+3d），化简可得d=0或a₁=-4d．即有a₁=a₃=a₄，公比为q=1，或公比q=$\frac{-4d+2d}{-4d}$=$\frac{1}{2}$，
故②错误；
对于③，x＞0，y＞0，且x+y=1，则$\frac{2}{x}$+$\frac{8}{y}$=（x+y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{8}{y}$）=10+$\frac{8x}{y}$+$\frac{2y}{x}$≥10+2$\sqrt{\frac{8x}{y}•\frac{2y}{x}}$=18，故③正确；
对于④，在△ABC中，由$\frac{a}{cosA}$=$\frac{b}{cosB}$=$\frac{c}{cosC}$，结合$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，可得$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{cosC}$，
即有tanA=tanB=tanC，即为A=B=C=60°，故④正确；
对于⑤，数列{a_n}的前n项和S_n=n²-2n+1，当n=1时，a₁=S₁=0，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n²-2n+1-（n-1）²+2（n-1）-1=2n-3．对n=1不成立．
则数列{a_n}不是等差数列，故⑤错误．
故答案为：①③④．

点评 本题考查命题的真假判断，主要考查等差数列和等比数列的性质，正弦定理和余弦定理的运用，基本不等式的运用，考查化简整理的能力，属于中档题和易错题．