Question

12．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，S_n是它的前n项之和，T_n是它的前n项倒数之和，并且a₁₀²=a₁₅，求满足不等式S_n＞T_n的最小自然数．

Answer 1

分析 设等比数列的首项为a，公比为q，且q＞1，运用等比数列的通项公式，可得aq⁴=1，运用求和公式，化简S_n，T_n，再由指数函数的单调性，解不等式即可得到n的最小值．

解答 解：设等比数列的首项为a，公比为q，且q＞1，
由a₁₀²=a₁₅，可得a²q¹⁸=aq¹⁴，化简得aq⁴=1，
S_n=a₁+a₂+…+a_n=$\frac{a（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
T_n=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{a}（1-\frac{1}{{q}^{n}}）}{1-\frac{1}{q}}$=$\frac{q（{q}^{n}-1）}{a{q}^{n}（q-1）}$，
由S_n＞T_n，可得a＞$\frac{q}{a{q}^{n}}$，
即有a²＞q^1-n，
即为q^-8＞q^1-n，
由q＞1可得-8＞1-n，
即有n＞9，
则满足S_n＞T_n的最小正整数n是10．

点评 本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查指数函数的单调性的运用和不等式的解法，属于中档题．