Question

2．求下列函数的值域．
（1）y=$\frac{2x+1}{x-1}$（x≠1）；
（2）y=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$；
（3）y=x+$\sqrt{2x+1}$（变式为y=x-$\sqrt{2x+1}$）；
（4）y=4^x+2^x+1；
（5）y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）

Answer 1

分析 （1）利用分离常数法化简y=$\frac{2x+1}{x-1}$=2+$\frac{3}{x-1}$（x≠1），从而求函数的值域；
（2）利用分离常数法化简y=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}$，从而求函数的值域；
（3）利用换元法令t=$\sqrt{2x+1}$，t≥0，则x=$\frac{1}{2}$（t²-1），从而得到y=$\frac{1}{2}$（t²-1）+t=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1≥-$\frac{1}{2}$；同理求得变式；
（4）化简y=4^x+2^x+1=（2^x+1）²-1＞0，
（5）利用基本不等式得y=x+$\frac{1}{x}$≥2（当且仅当x=1时，等号成立）．

解答 解：（1）y=$\frac{2x+1}{x-1}$=2+$\frac{3}{x-1}$（x≠1），
故函数的值域为（-∞，2）∪（2，+∞）；
（2）y=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}$，
∵0＜$\frac{2}{1+{2}^{x}}$＜2，
∴-1＜-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}$＜1，
∴函数的值域为（-1，1）；
（3）令t=$\sqrt{2x+1}$，t≥0，则x=$\frac{1}{2}$（t²-1），
则y=$\frac{1}{2}$（t²-1）+t=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1≥-$\frac{1}{2}$，
故函数的值域为[-$\frac{1}{2}$，+∞）；
同理可求得，
y=x-$\sqrt{2x+1}$的值域为[-1，+∞）；
（4）y=4^x+2^x+1=（2^x+1）²-1＞0，
故函数的值域为（0，+∞）；
（5）y=x+$\frac{1}{x}$≥2（当且仅当x=1时，等号成立），
故函数的值域为[2，+∞）．

点评 本题考查了函数的值域的求法，属于中档题．