Question

17．如图，在正三棱柱ABCA₁B₁C₁中，E，F分别为BB₁，AC的中点．求证：BF∥平面A₁EC．

Answer 1

分析 以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，过F作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BF∥平面A₁EC．

解答 证明：以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，过F作平面ABC的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AB=2，AA₁=2t，则B（0，$\sqrt{3}$，0），F（0，0，0），
A₁（-1，0，2t），C（1，0，0），E（0，$\sqrt{3}$，t），
$\overrightarrow{FB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（-2，0，2t），$\overrightarrow{CE}$=（-1，$\sqrt{3}，t$），
设平面A₁EC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=-2x+2tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=-x+\sqrt{3}y+tz=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（t，0，1），
∵$\overrightarrow{FB}•\overrightarrow{n}$=0，且BF?平面A₁EC，
∴BF∥平面A₁EC．

点评 本题考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．