Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率e=

2 3

3

，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为

3

2

．
（1）求双曲线方程；
（2）直线y=kx+5（k≠0）与双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求k值．

Answer 1

分析：（1）设直线AB的方程为bx-ay-ab=0进而表示出原点O到直线AB的距离求得ab和c的关系，进而根据离心率和a，b和c的关系建立方程组求得a和b，则双曲线方程可得．
（2）直线方程与双曲线方程联立消去y，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点M（x₀，y₀），根据|AC|=|AD|判断出M在CD的中垂线AM上，进而求得x₀和y₀的表达式，代入直线AM的方程中求得k．

解答：解：（1）设直线AB的方程为bx-ay-ab=0，
又原点O到直线AB的距离

ab

a2+b2

=

3

2

∴ab=

3

2

c
进而有

ab= 3 2 c c a = 2 3 3 a2+b2=c2

解得a=

3

，b=1
∴双曲线方程为

x2

3

-y2= 1
（2）由

y=kx+5 x2 3 -y2= 1

消去y，（1-3k²）x²-30kx-78=0
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点M（x₀，y₀），
∵|AC|=|AD|，∴M在CD的中垂线AM上，
∴x₀=

x1+x2

2

=

15k

1-3k2

，y₀=kx₀+5=

5

1-3k2

l_AM：y+1=-

1

k

x，
∴

5

1-3k2

+1=-

1

k

15k

1-3k2

，整理解得k=±

7

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题的能力和运算能力．