Question

已知圆方程x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点）求m的值；
（2）在（1）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）将圆的方程与直线方程联立，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用OM⊥ON，可得x₁x₂+y₁y₂=0，利用韦达定理，即可求出m的值；
（2）确定圆心坐标与半径，即可求以MN为直径的圆的方程．

解答：解：（1）由x²+y²-2x-4y+m=0得（x-1）²+（y-2）²=5-m
由5-m＞0，可得m＜5…（2分）
于是由题意

x+2y-4=0 x2+y2-2x-4y+m=0

把x=4-2y代入x²+y²-2x-4y+m=0，得 5y²-16y+8+m=0…..（3分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y1+y2=

16

5

，y1y2=

8+m

5

…（4分）
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0…（5分）
∴5y₁y₂-8（y₁+y₂）+16=0
∴m=

8

5

，满足题意…（8分）
（2）设圆心为（a，b），则a=

x1+x2

2

=

4

5

，b=

y1+y1

2

=

8

5

…．（9分）
半径r=

1

2

1+(-2)2

•|y1-y2|=

1

2

•

5

•

( 16 5 )2-4• 8+ 8 5 5

=

4 5

5

…（12分）
∴圆的方程(x-

4

5

)2+(y-

8

5

)2=

16

5

…（13分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查圆的方程，正确运用韦达定理是关键．