Question

已知圆方程x²+y²-4px-4（2-p）y+8=0，且p≠1，p∈R，
（1）求证圆恒过定点；  
（2）求圆心的轨迹．

Answer 1

分析：（1）把给出的圆的方程展开后整理，提取参数p，由圆系方程联立直线和圆的方程求出圆恒过的定点；
（2）化圆的一般方程为标准方程，写出圆心坐标，消掉参数p后即可得到答案．

解答：解：（1）分离参数p得（4y-4x）p+x²+y²-8y+8=0，
由

x-y=0 x2+y2-8y+8=0

⇒

x=2 y=2

，即圆恒过定点（2，2）．
（2）圆方程可化为（x-2p）²+[y-（4-2p）]²=8（p-1）²，
得圆心的参数方程为

x=2p y=4-2p

，
消去参数p得：x+y-4=0 （x≠2）．
所以圆心的轨迹为x+y-4=0 （x≠2）．

点评：本题考查了圆系方程，考查了圆的参数方程，训练了参数方程和一般方程的互化，是基础题．