Question

附加题：如图，过椭圆C：（a＞b＞0）上一动点P引圆x²+y²=b²的两条切线PA，PB（A，B为切点）．直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点．
①已知P点的坐标为（x₀，y₀），并且x₀•y₀≠0，试求直线AB的方程；　　
②若椭圆的短轴长为8，并且，求椭圆C的方程；
③椭圆C上是否存在P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，求出存在的条件；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）设A （x₁，y₁），B （x₂，y₂）切线PA：x₁x+y₁y=b²，PB：x₂x+y₂y=b²，
∵P点在切线PA、PB上，∴x₁x₀+y₁y₀=b²，x₂x₀+y₂y₀=b²．
∴直线AB的方程为x₀x+y₀y=b²．
（2）在x₀x+y₀y=b²中，2b=8?b=4，b²=16，
分别令y=0，得，x=0 得
代入，得：①
又P（x₀，y₀）在椭圆上：②代入①?a²=25∴所求椭圆为：（xy≠0）
（3）假设存在点P（x₀，y₀）满足PA⊥PB，连OA、OB，
由|PA|=|PB|，知四边形PAOB为正方形，|OP|=|OA|∴x₀²+y₀²=2b²①又P在椭圆上∴a²x₀²+b²y₀²=a²b²②
由①、②知：∵a＞b＞0∴a²＞b²，
所以 当a²≥2b²＞0，即时，椭圆C上存在点P₁满足条件，
当a²＜2b²，即时，椭圆C上不存在满足条件的点P．
分析：（1）设A （x₁，y₁），B （x₂，y₂），切线PA：x₁x+y₁y=b²，PB：x₂x+y₂y=b²，由P点在切线PA、PB上，能求出直线AB的方程．
（2）在x₀x+y₀y=b²中，2b=8?b=4，b²=16，分别令y=0，得，x=0 得．代入，得：．由此能求出椭圆C的方程．
（3）假设存在点P（x₀，y₀）满足PA⊥PB，连OA、OB，由|PA|=|PB|，知四边形PAOB为正方形，|OP|=|OA|．所以x₀²+y₀²=2b²，又P在椭圆上，所以a²x₀²+b²y₀²=a²b²，所以．由此知当a²≥2b²＞0时，椭圆C上存在点P₁满足条件，当a²＜2b²时，椭圆C上不存在满足条件的点P．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．