Question

【题目】已知椭圆 C：的离心率为，以短轴为直径的圆被直线 x+y－1 = 0 截得的弦长为．

(1) 求椭圆 C 的方程；

(2) 设 A， B 分别为椭圆的左、右顶点， D 为椭圆右准线 l 与 x 轴的交点， E 为 l上的另一个点，直线 EB 与椭圆交于另一点F，是否存在点 E，使 R)? 若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）椭圆 C 的方程为：；（2）.

【解析】

（1）利用直线和圆相交所得弦长公式建立方程，可求得，再结合离心率可求得的值，由此求得椭圆的方程.（2）求出右准线方程，设出点的坐标，写出直线的方程并代入椭圆方程，求出点的坐标，代入，化简后求得点的坐标.

（1）圆心为（0,0），半径为R,，依题意，得：b＝R，

圆心到直线x+y－1 = 0的距离为：，又弦长为，

所以，R2＝＝3，所以，b＝R＝

离心率e＝＝，即，又，解得：，

椭圆 C 的方程为：

（2）依题意，有A（－2,0），B（2,0），c＝1，

椭圆的右准线方程为：，所以，D（4,0）

设l上的另一个点E（4，t），则

与椭圆联立，消去可得.

点B（2,0），F（x，y）是直线与椭圆的2个交点，所以，由韦达定理，得：2，

所以，，代入BE方程，解得：，

所以，F（，）.因为，所以，与共线，所以，所以..