Question

9．设连续型随机变量X的密度函数为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{4}^{x}，0＜x＜1}\\{0，其他}\end{array}\right.$．
（1）求常数a，使P（X＞a）=P（X＜a）；
（2）求常数b，使P（X＞b）=0.05．

Answer 1

分析 利用连续型随机变量X的密度函数为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{4}^{x}，0＜x＜1}\\{0，其他}\end{array}\right.$，结合定积分知识建立方程，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，${∫}_{0}^{a}{4}^{x}dx$=${∫}_{a}^{1}{4}^{x}dx$，
∴$\frac{{4}^{x}}{ln4}$${|}_{0}^{a}$=$\frac{{4}^{x}}{ln4}$${|}_{a}^{1}$，
∴$\frac{{4}^{a}}{ln4}-\frac{1}{ln4}$=$\frac{4}{ln4}-\frac{{4}^{a}}{ln4}$，
∴a=log₄2.5；
（2）由题意，${∫}_{b}^{1}{4}^{x}dx$=0.05，
∴$\frac{{4}^{x}}{ln4}$${|}_{b}^{1}$=0.05，
∴$\frac{4-{4}^{b}}{ln4}$=0.05，
∴b=log₄（4-0.05ln4）．

点评 本题考查了连续型随机变量x的分布函数，及概率的求解方法，考查定积分知识，考查学生的计算能力，面积即为概率的知识，比较基础．