Question

8．已知sinα+sinβ=a，cosα+cosβ=b，且ab≠0，求tan$\frac{α}{2}$+tan$\frac{β}{2}$的值．

Answer 1

分析 已知两等式左边利用和差化积公式变形，相除表示出tan$\frac{α+β}{2}$，进而表示出sec$\frac{α+β}{2}$，平方和表示出cos$\frac{α-β}{2}$，原式化简后将各自的值代入计算即可求出值．

解答 解：由已知得，2sin$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$=a①，2cos$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$=b②，
由ab≠0，①÷②得：tan$\frac{α+β}{2}$=$\frac{a}{b}$，
∴sec$\frac{α+β}{2}$=±$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{b}$，
①²+②²得：4（cos$\frac{α-β}{2}$）]²=a²+b²，
∴cos$\frac{α-β}{2}$=±$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{2}$，
∵2cos$\frac{α}{2}$cos$\frac{β}{2}$=cos$\frac{α+β}{2}$+cos$\frac{α-β}{2}$，
∴tan$\frac{α}{2}$+tan$\frac{β}{2}$=$\frac{sin\frac{α+β}{2}}{cos\frac{α}{2}cos\frac{β}{2}}$=$\frac{sin\frac{α+β}{2}}{\frac{1}{2}（cos\frac{α+β}{2}+cos\frac{α-β}{2}）}$=$\frac{2sin\frac{α+β}{2}}{cos\frac{α+β}{2}+cos\frac{α-β}{2}}$=$\frac{2tan\frac{α+β}{2}}{1+sec\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}}$=$\frac{\frac{2a}{b}}{1±\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{b}×\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{2}}$=$\frac{4a}{2b±（{a}^{2}+{b}^{2}）}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．