Question

【题目】如图几何体是圆锥的一部分，它是Rt△ABC（及其内部）以一条直角边AB所在直线为旋转轴旋转150°得到的，AB＝BC＝2，P是弧上一点，且EB⊥AP.

（1）求∠CBP的大小；

（2）若Q为AE的中点，D为弧的中点，求二面角Q﹣BD﹣P的余弦值；

（3）直线AC上是否存在一点M，使得B、D、M、Q四点共面？若存在，请说明点M的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）60°（2）（3）存在；直线AC与平面BQD相交，交点为所求点M

【解析】

（1）根据线面垂直推出线线垂直，结合已知角度的大小，即可求得；

（2）根据二面角的定义，作出二面角的补角，求得该补角后，再求出原二面角大小即可.

（3）假设与平面平行，推证矛盾，再说明点所在位置即为直线与平面的交点即可.

（1）∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，

又EB⊥AP，AB∩AP＝A，

∴BE⊥平面ABP，则EB⊥BP，

又∠EBC＝150°

∴∠CBP＝60°；

（2）过Q作QF⊥BE，垂直为F，则QF⊥平面BEC，

过F作FG⊥BD，垂直为G，连接QG，如下图所示：

则∠QGF为二面角Q﹣BD﹣E的平面角，

∵D为弧EP的中点，∴∠FBG＝45°，

∵Q是AE的中点，∴QF，

因为QF⊥BE，，故可得//，

则点也是的中点，故BF，

因为QF⊥BE，，故可得//，

则点也是的中点，故BF，

在中，.

因为//，平面，故可得平面，

又平面，故可得

则在中，

则在Rt△QGF中，可得cos∠QGF，

因为二面角Q﹣BD﹣P的平面角与二面角Q﹣BD﹣E的平面角互补，

∴二面角Q﹣BD﹣P的余弦值为；

（3）直线AC上存在一点M，使得B、D、M、Q四点共面.

事实上，若直线AC与平面BQD相交，则交点为所求点M.

下面说明直线AC与平面BQD相交：

若AC∥平面BQD，

连接EC，交平面BQD于H，

连接QH，则QH∥AC.

∵Q为AE的中点，则H为EC中点，

由∠EBD＝45°，∠CBD＝105°，

可知H不是EC中点，矛盾.

∴直线AC与平面BQD相交，交点为所求点M.

即直线AC上存在一点M，使得B、D、M、Q四点共面，

该点为直线AC与平面BQD的交点.