【题目】已知
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）若对任意
，都有
，求实数
的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】
（1）求出函数
的定义域和导数，对
分
和
两种情况，分析
在
上的符号，可得出函数的单调区间；
（2）由
，转化为
，构造函数
，且有
，问题转化为
，对函数
求导，分析函数的单调性，结合不等式求出实数的取值范围.
（1）函数
的定义域为，
.
①当时，对任意的
，
，此时，函数的单调递减区间为；
②当时，令，得
；令
，得
.
此时，函数的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（2）
，即
，得
，
又
，不等式两边同时除以
，得
，即.
易知，由题意可知对任意的恒成立，
.
①若，则当
时，
，
，此时
，
此时，函数在
上单调递减，则
，不合乎题意；
②若，对于方程
.
（i）当
时，即
，
恒成立，
此时，函数在上单调递增，则有，合乎题意；
（ii）当
时，即
时，
设方程的两个不等实根分别为
、
，且
，
则
，
，所以，
，
，
.
当
时，；当
时，
，
，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
一线名师提优试卷系列答案
阳光试卷单元测试卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在
，
，
，
，
，
（单位：克）中，经统计，频率分布直方图如图所示：
（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；
（2）现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；
（3）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有1000个，经销商提出以下两种收购方案：
方案①：所有芒果以9元/千克收购
方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购.通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多.
参考数据：
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】．
为了解某校高三学生质检数学成绩分布，从该校参加质检的学生数学成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘成如图所示的频率分布直方图．若第一组至第五组数据的频率之比为
，最后一组数据的频数是6．
（Ⅰ）估计该校高三学生质检数学成绩在125～140分之间的概率，并求出样本容量；
（Ⅱ）从样本中成绩在65～95分之间的学生中任选两人，求至少有一人成绩在65～80分之间的概率．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在极坐标系中，已知曲线
：
和曲线
：
，以极点
为坐标原点，极轴为
轴非负半轴建立平面直角坐标系.
（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；
（2）若点
是曲线上一动点，过点作线段
的垂线交曲线于点
，求线段
长度的最小值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】函数
，对任意实数
，
均满足
，且
，数列
，
满足
，
，则下列说法正确的有_____
①数列为等比数列；
②数列为等差数列；
③若
为数列
的前n项和，则
；
④若
为数列{
}的前
项和，则
；
⑤若
为数列{
}的前项和，则
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图几何体是圆锥的一部分，它是Rt△ABC（及其内部）以一条直角边AB所在直线为旋转轴旋转150°得到的，AB＝BC＝2，P是弧
上一点，且EB⊥AP.
（1）求∠CBP的大小；
（2）若Q为AE的中点，D为弧
的中点，求二面角Q﹣BD﹣P的余弦值；
（3）直线AC上是否存在一点M，使得B、D、M、Q四点共面？若存在，请说明点M的位置；若不存在，请说明理由.
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