Question

【题目】已知函数，．

（1）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；

（2）记表示中的最小值，若函数在内恰有一个零点，求实的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用分离参数，并构造新的函数，利用导数判断的单调性，并求最值，可得结果.

（2）利用对的分类讨论，可得，然后判断函数单调性以及根据零点存在性定理，可得结果.

（1）由，得，

令，

当时，

，，；

当时，

，，，

∴函数在上递减，在上递增，

，，

∴实数的取值范围是

（2） ①由（1） 得当时，，

，

，

函数在内恰有一个零点，符合题意

②当时，

i．若，，

，

故函数在内无零点

ii．若，，，

，

不是函数的零点；

iii．若时，，

故只考虑函数在的零点，，

若时，

，∴函数在上单调递增，

，

，

∴函数在上恰有一个零点

若时，

， ∴函数在上单调递减，

，∴函数在上无零点，

若时，

，，

∴函数在上递减，在上递增，

要使在上恰有一个零点， 只需，

．

综上所述，实数的取值范围是．