Question

复数z=（a-cosθ）+（

3

a-sinθ）i．若对一切θ∈R，|z|≤3恒成立，则实数a的取值范围为

[-2，2]

．

Answer 1

分析：由|z|≤3恒成立，知(a-cosθ)2+(

3

a-sinθ)2≤9，整理，得a（cosθ+

3

sinθ）≥2a²-4，所2asin(θ+

π

6

)≥2a2-4，故|a|≥a²-2，由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：∵z=（a-cosθ）+（

3

a-sinθ）i．对一切θ∈R，|z|≤3恒成立，
∴(a-cosθ)2+(

3

a-sinθ)2≤9，
整理，得a（cosθ+

3

sinθ）≥2a²-4，
∴2asin(θ+

π

6

)≥2a2-4，
∴|a|≥a²-2，
∴|a|≤2，
-2≤a≤2．
故答案为：[-2，2]．

点评：本题考查复数的模的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的性质的灵活运用．本题的易错点是忽视复数模的性质导致出错．