Question

（2011•广州一模）若对一切θ∈R，复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i的模不超过2，则实数a的取值范围为

[-

5

5

，

5

5

]

．

Answer 1

分析：由题意可得（a+cosθ）²+（2a-sinθ）²=5a²+1+2

5

asin（θ+∅）≤4，即2

5

asin（θ+∅）+5a²-3≤0，即

2 5 a + 5a2-3≤0 -2 5 a + 5a2-3≤0

，求得实数a的取值范围．

解答：解：由题意可得  （a+cosθ）²+（2a-sinθ）²=5a²+1+2a（cosθ-2sinθ）=5a²+1+2

5

asin（θ+∅）≤4，
 即  2

5

asin（θ+∅）+5a²-3≤0．令 sin（θ+∅）=x，-x≤x≤1，
则 f（x）=2

5

a x+5a²-3 （-x≤x≤1）是一次函数，
由题意得f（x）≤0，∴

2 5 a + 5 a2-3≤0  -2 5 a + 5 a2-3≤0

，
解得-

5

5

≤a≤

5

5

，
故答案为  [-

5

5

，

5

5

]．

点评：本题考查复数的模的定义，两角和的正弦函数，一次函数在闭区间上小于0的条件，得到

2 5 a + 5a2-3≤0 -2 5 a + 5a2-3≤0

，
是解题的关键．