Question

（2011•广州一模）设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，已知数列{

Sn

}是首项为1，公差为1的等差数列．
（1） 求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=

1

anS2n+1 + an+1S2n-1

，若不等式

n

i=1

bi≥

L

2n+1 +1

对任意n∈N^*都成立，求实数L的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由数列数列{

Sn

}是首项为1，公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式即可得到

Sn

的通项公式，进而得到S_n的通项公式，然后当n=1时，求出a₁=S₁的值，当n大于等于2时，利用a_n=S_n-S_n-1即可得到数列{a_n}的通项公式，把n=1代入也满足；
（2）把（1）中求出的S_n的通项公式代入到b_n中，化简后确定出通项，然后列举出

n

i=1

bi的各项，抵消后得到通项，将通项代入到不等式中，解出L，令cn=

n

2n+1

，利用作商的方法得到此数列为递增数列，进而得到此数列的最小值为c₁，让L小于等于求出的最小值即可得到L的取值范围．

解答：解：（1）∵数列{

Sn

}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

Sn

=1+(n-1)=n．
∴S_n=n²．（2分）
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
又a₁=1适合上式．
∴a_n=2n-1．（4分）
（2）因为bn=

1

anS2n+1 + an+1S2n-1

=

1

(2n+1) 2n-1 +(2n-1) 2n+1

=

1

(2n+1)(2n-1) ( 2n+1 + 2n-1 )

=

2n+1 - 2n-1

2 (2n+1)(2n-1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．（6分）
∴

n

i=1

bi=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

2n+1 -1

2 2n+1

．（8分）
故要使不等式

n

i=1

bi≥

L

2n+1 +1

对任意n∈N^*都成立，
即

2n+1 -1

2 2n+1

≥

L

2n+1 +1

对任意n∈N^*都成立，
得L≤

( 2n+1 -1)( 2n+1 +1)

2 2n+1

=

n

2n+1

对任意n∈N^*都成立．（10分）
令cn=

n

2n+1

，则

cn+1

cn

=

(n+1) 2n+1

n 2n+3

=

2n3+5n2+4n+1

2n3+3n2

＞1．
∴c_n+1＞c_n．∴cn＞cn-1＞…＞c1=

3

3

．（12分）
∴L≤

3

3

．∴实数L的取值范围为(-∞，

3

3

]．（14分）

点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，会利用数列的递推式得到等差数列的通项公式，掌握不等式恒成立时满足的条件，是一道中档题．