【题目】已知函数(
为常数,
是自然对数的底数),曲线
在点
处的切线与
轴垂直.
(1)求的单调区间;
(2)设,对任意
,证明:
.
【答案】(1)的单调递增区间是
,单调递减区间是
;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)求出,根据曲线
在点
处的切线与
轴垂直即切线斜率为
,求出
的值,解
即得函数
的单调递增区间和递减区间;(2)由于
,所以整理
得
,分别证明
时,
和
,根据(1)可知:当
时,由(1)知
成立;当
时,
,
,即证
,构造函数
,利用导数研究其在
单调性,求出其在
上的最大值即可证得
,再构造函数
,利用导数求出其最小值,根据不等式的性质即可得到要证明的结论.
试题解析:(1)因为,由已知得
,∴
.
所以,
设,则
,在
上恒成立,即
在
上是减函数,
由知,当
时
,从而
,当
时
,从而
.
综上可知,的单调递增区间是
,单调递减区间是
.
(2)因为,要证原式成立即证
成立,
现证明:对任意恒成立,
当时,由(1)知
成立;
当时,
,且由(1)知
,∴
.
设,则
,
当时,
,当
时,
,所以当
时,
取得最大值
. 所以
,即
时,
.
综上所述,对任意.①
令,则
恒成立,所以
在
上递增,
恒成立,即
,即
.②
当时,有
;当
时,由①②式,
,
综上所述,时,
成立,故原不等式成立
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在浙江省和青海省各取面积大小一样的A,B两块区域,分别调查人均可支配收入.获得数据显示,浙江省的A区域的人均可支配收入为35537元,青海省的B区域的人均可支配收入为24542元.
(1)能否得到这两块区域的人均可支配收入为(元)?
(2)若“A区域为70万人,B区域为30万人”,请问这两块区域的人均可支配收入为多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律\left(f(t)越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析得知:
(1)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟?
(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较,何时学生的注意力更集中?
(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安排,教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?
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【题目】近年来,雾霾日趋严重,雾霾的工作、生活受到了严重的影响,如何改善空气质量已成为当今的热点问题,某空气净化器制造厂,决定投入生产某型号的空气净化器,根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律,每生产该型号空气净化器(百台),其总成本为
(万元),其中固定成本为12万元,并且每生产1百台的生产成本为10万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入
(万元)满足
,假定该产品销售平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:
(1)求利润函数的解析式(利润=销售收入-总成本);
(2)工厂生产多少百台产品时,可使利润最多?
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
(
为参数).以直角坐标系的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)若过点的直线
与
交于
,
两点,与
交于
,
两点,求
的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥中,
是以
为斜边的直角三角形,
,
,
,
.
(1)若线段上有一个点
,使得
平面
,请确定点
的位置,并说明理由;
(2)若平面平面
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】已知函数,
.
(1)若曲线在
处的切线方程为
,求实数
的值;
(2)设,若对任意两个不等的正数
,
,都有
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若在上存在一点
,使得
成立,求实数
的取值范围.
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【题目】北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估,该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到元.公司拟投入
万作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入
万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量
至少应达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
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