【题目】设函数,.
(1)求函数的单调性;
(2)如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)当时,函数在上单调递增;当时,函数在单调递减,在单调递增;(2).
【解析】
(1)对函数求导,分类讨论即可求出它的单调性;(2)先求出在上的最大值,则在恒成立,然后可转化为在上恒成立,求出在的最大值,即可求出的取值范围。
(1)因为,
当时,,函数在上单调递增;
当时,令,得,此时,函数在单调递减,在单调递增.
(2)由 得,由 得或,
因为,所以在单调递减,在单调递增,
又因为,所以,
由题意,可转化为在上恒成立,
即在上恒成立,
设,因为
令,则
显然时,,所以在在单调递减,
又因为,故当时,,时,,
即当时,时,,
所以,函数在区间单调递增,在区间上单调递减
所以,
故时,在上恒成立,
即对任意的,都有成立,实数的取值范围是.
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【题目】已知椭圆 C: 的焦距为2,且过点,右焦点为.设A,B 是C上的两个动点,线段 AB 的中点M 的横坐标为,线段AB的中垂线交椭圆C于P,Q 两点.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设M点纵坐标为m,求直线PQ的方程,并求的取值范围.
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【题目】空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级,0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;大于300为严重污染.某环保人士从当地某年的AQI记录数据中,随机抽取了15天的AQI数据,用如图所示的茎叶图记录.根据该统计数据,估计此地该年空气质量为优或良的天数约为__________.(该年为366天)
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【题目】已知向量a=(-2,1),b=(x,y).
(1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足a·b=-1的概率;
(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,求满足a·b<0的概率.
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【题目】进入12月以来,某地区为了防止出现重污染天气,坚持保民生、保蓝天,严格落实机动车限行等一系列“管控令”.该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况,随机采访了220名市民,将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计,得到如下的列联表:
赞同限行 | 不赞同限行 | 合计 | |
没有私家车 | 90 | 20 | 110 |
有私家车 | 70 | 40 | 110 |
合计 | 160 | 60 | 220 |
(1)根据上面的列联表判断,能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“是否赞同限行与是否拥有私家车”有关;
(2)为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用,从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人,再从这6人中随机抽出3名进行电话回访,求3人中至少抽到1名“没有私家车”人员的概率.
附:.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】为了解市民对A,B两个品牌共享单车使用情况的满意程度,分别从使用A,B两个品牌单车的市民中随机抽取了100人,对这两个品牌的单车进行评分,满分60分.根据调查,得到A品牌单车评分的频率分布直方图,和B品牌单车评分的频数分布表:
根据用户的评分,定义用户对共享单车评价的“满意度指数”如下:
评分 | |||
满意度指数 |
(1)求对A品牌单车评价“满意度指数”为的人数;
(2)从对A,B两个品牌单车评分都在范围内的人中随机选出2人,求2人中恰有1人是A品牌单车的评分人的概率;
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【题目】(本小题满分12分)
围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:元)。
(Ⅰ)将y表示为x的函数;
(Ⅱ)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。
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