Question

20．△ABC的顶点A在y²=4x上，B，C两点在直线x-2y+5=0上，若|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=2$\sqrt{5}$，则△ABC面积的最小值为1．

Answer 1

分析 由题意设A（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），运用点到直线的距离公式求得d，通过配方求得d的最小值，再由三角形的面积公式可得面积的最小值为1．

解答 解：由题意设A（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），
|BC|=2$\sqrt{5}$，
A到直线BC的距离d=$\frac{|\frac{{m}^{2}}{4}-2m+5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|{m}^{2}-8m+20|}{4\sqrt{5}}$
=$\frac{|（m-4）^{2}+4|}{4\sqrt{5}}$≥$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
当m=4时，d取得最小值，且为1．
则△ABC面积S=$\frac{1}{2}$d•|BC|=$\sqrt{5}$d≥1．
且当A（4，4）时，面积取得最小值，且为1．
故答案为：1．

点评 本题考查抛物线的方程和运用，主要考查点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．