Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{14}}{4}$）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F是椭圆C的左焦点，过点P（-2，0）的直线交椭圆于A，B两点，求△ABF面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的性质求得椭圆方程
（2）直线AB的方程为y=k（x+2）（k≠0）设点AA（x₁，y₁）B（x₂，y₂），联立消去y得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，由弦长公式求得底边边长，由点到直线距离求得高，继而求得面积．

解答 解：（1）因为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又椭圆C过点（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{14}}{4}$），所以$\frac{1}{4{a}^{2}}+\frac{7}{8{b}^{2}}=1$．
同时结合a²=b²+c²，解得$a=\sqrt{2}，b=1，c=1$所以椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$
（2）由题知：F（-1，0），显然直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y=k（x+2）（k≠0），设点AA（x₁，y₁）B（x₂，y₂），联立消去y得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0
故△=（8k²）²-4（1+2k²）（8k²-2）
=8（1-k²）＞0，所以$0＜{k}^{2}＜\frac{1}{2}$且${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$
所以|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1+}{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{\frac{8（1-2{k}^{2}）}{（1+2{k}^{2}）}}$．
点F到直线AB的距离为$d=\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，所以${S}_{△AEF}=\frac{1}{2}×\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{\frac{8（1-2{k}^{2}）}{（1-2{k}^{2}）^{2}}}$
=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{-2{k}^{4}+{k}^{2}}{4{k}^{4}+4{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}\sqrt{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{6{k}^{2}+1}{4{k}^{4}+4{k}^{2}+1}}$令t=6k²+1∈（1，4）则${k}^{2}=\frac{t-1}{6}$
所以${S}_{△ABF}=\sqrt{2}\sqrt{-\frac{1}{2}+\frac{9}{2}×\frac{t}{{t}^{2}+4t+4}}$S=$\sqrt{2}\sqrt{-\frac{1}{2}+\frac{9}{2}×\frac{1}{t+\frac{4}{t}+4}}≤$
$\sqrt{2}\sqrt{-\frac{1}{2}+\frac{9}{2}×\frac{1}{4+4}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当$t=\frac{4}{t}$时，即t=2，k=$±\frac{\sqrt{6}}{6}$时，取等号，所以△ABF面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查椭圆方程的求法和直线和圆锥曲线的综合问题，属于中档题型，高中经常涉及．