Question

14．某企业有甲、乙两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在[29.94，30.06）的零件为优质品．
从甲、乙两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸的结果如下表：
甲厂的零件内径尺寸：

分组	[29.86，29.90）	[29.90，29.94）	[29.94，29.98）	[29.98，30.02）	[30.02，30.06）	[30.06，30.10）	[30.10，30.14）
频数	15	30	125	198	77	35	20

乙厂的零件内径尺寸：

分组	[29.86，29.90）	[29.90，29.94）	[29.94，29.98）		[29.98，30.02）		[30.02，30.06）		[30.06，30.10）		[30.10，30.14）
频数	40	70	79	162		59		55		35

（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与在不同分厂生产有关”；

	甲厂	乙厂	合计
优质品
非优质品
合计

附：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.025	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

（Ⅱ）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分两层）从乙厂中抽取5件零件，求从这5件零件中任意取出2件，至少有1件非优质品的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由图中表格数据易得2×2列联表，计算可得X²的近似值，可得结论；
（Ⅱ）从乙厂抽取优质品3件，记为A，B，C，非优质品2件，记为1，2，列举可得总的方法种数为十种，至少有一件非优质品的抽法七种，由概率公式可得．

解答 解：（Ⅰ）由图中表格数据可得2×2列联表如下：

	甲 厂	乙 厂	合计
优质品	400	300	700
非优质品	100	200	300
合计	500	500	1000

计算可得$\frac{1000（400×200-100×300）^{2}}{500×500×700×300}$≈47.619，
∵47.619＞10.828，∴有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与分厂有关”；
（Ⅱ）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从乙厂抽取五件零件，
从乙厂抽取优质品3件，记为A，B，C，非优质品2件，记为1，2．
从这五件零件中任意取出两件，共有{AB，AC，A1，A2，BC，B1，B2，C1，C2，12}这十种抽法，
至少有一件非优质品的抽法为{A1，A2，B1，B2，C1，C2，12}共七种，
∴所求概率为P=$\frac{7}{10}$

点评 本题考查独立检验，涉及分层抽样和列举法求概率，属基础题．