Question

5．已知直线的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$，它与曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosa}\\{y=2+2sina}\end{array}\right.$相交于A，B两点．
〔1〕求︳AB|的大小；
〔2〕求过极坐标点〔2，$\frac{4π}{3}$〕，且与曲线相切的直线的直角坐标方程．

Answer 1

分析 （1）首先将极坐标方程和参数方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，应用弦长公式l=2 $\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$求出弦长．
（2）把参数方程化为直角坐标方程，求出圆心和半径，分切线的斜率不存在、存在两种情况，分别求得切线的方程．

解答 解：（1）直线的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），化为普通方程：y=x，
曲线$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosa\\ y=2+2sina\end{array}\right.$（α为参数），化为普通方程为：（x-1）²+（y-2）²=4，
其圆心为（1，2），半径r=2，
则圆心到直线的距离为d=$\frac{|1-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
故弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{14}$．
（2）根据点M的极坐标点〔2，$\frac{4π}{3}$〕，可得点M的直角坐标为（-1，-$\sqrt{3}$），
把曲线C直角坐标方程为：（x-1）²+（y-2）²=4，
表示圆心为（1，2），半径r=2，
当切线的斜率不存在时，切线的方程为x=-1，
当切线的斜率存在时，设切线的方程为y+$\sqrt{3}$=k（x+1），即 kx-y-$\sqrt{3}$+k=0，
由圆心到切线的距离等于半径，$\frac{|2k-2-\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=2$可得 6k²-24k-13=0，求得k=$\frac{3+4\sqrt{3}}{8+4\sqrt{3}}$，
故切线的方程为 （3+3$\sqrt{3}$）x-（8+4$\sqrt{3}$）y+9+4$\sqrt{3}$=0，
综上可得，圆的切线方程为：（3+3$\sqrt{3}$）x-（8+4$\sqrt{3}$）y+9+4$\sqrt{3}$=0和x=-1，

点评 本题主要考查极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，同时考查直线与圆相交的弦长公式．考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想．