Question

15．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；
（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AB⊥平面PBC，利用面面垂直的性质，根据AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，即可得证；
（Ⅱ）取BC的中点O，连接PO，以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面ADP与平面BCP的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．

解答 （Ⅰ）证明：因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC，
因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：如图，取BC的中点O，连接PO，
因为PB=PC，所以PO⊥BC．
因为PB=PC，所以PO⊥BC，
因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．
以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O-xyz．
不妨设BC=2．由AB=PB=PC=BC=2CD得，$P（0，0，\sqrt{3}），D（-1，1，0），A（1，2，0）$，
所以$\overrightarrow{DP}=（1，-1，\sqrt{3}），\overrightarrow{DA}=（2，1，0）$，
设平面PAD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）．
所以$\left\{\begin{array}{l}x-y+\sqrt{3}z=0\\ 2x+y=0\end{array}\right.$．
令x=-1，则$y=2，z=\sqrt{3}$，所以$\overrightarrow{m}$=（-1，2，$\sqrt{3}$）．
取平面BCP的一个法向量$\overrightarrow n=（0，1，0）$，
所以cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查线面垂直，考查平面ADP与平面BCP所成的锐二面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法，属于中档题．