Question

6．已知一函数满足x＞0时，有g′（x）=2x²＞$\frac{g（x）}{x}$，则下列结论一定成立的是（　　）

• A． $\frac{g（2）}{2}$-g（1）≤3
• B． $\frac{g（2）}{2}$-g（1）≥2
• C． $\frac{g（2）}{2}$-g（1）＜4
• D． $\frac{g（2）}{2}$-g（1）≥4

Answer 1

分析 利用g′（x）=2x²，可得g（x）=$\frac{2}{3}$x³+c，再利用g′（x）=2x²＞$\frac{g（x）}{x}$，得到c＜$\frac{4}{3}$x³，继而得到c≤0，代入值求助即可．

解答 解：∵x＞0时，有g′（x）=2x²＞$\frac{g（x）}{x}$，
∴g（x）=$\frac{2}{3}$x³+c，
∴2x³＞$\frac{2}{3}$x³+c，
∴c＜$\frac{4}{3}$x³，
∵x＞0，
∴c≤0
∴g（2）=$\frac{16}{3}$+c，g（1）=$\frac{2}{3}$+c，
∴$\frac{g（2）}{2}$=$\frac{\frac{16}{3}+c}{2}$=$\frac{8}{3}$+$\frac{c}{2}$，
∴$\frac{g（2）}{2}$-g（1）=$\frac{6}{3}$=2-$\frac{c}{2}$≥2
故选：B

点评 本题考查了导数的运算，以及函数的单调性，以及参数的取值范围，属于中档题．