Question

17．设直线$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=4-t}\end{array}\right.$与抛物线y²=4x交于相异两点，求这两点到点A（2，4）的距离之和．

Answer 1

分析 将直线方程化为普通方程，代入抛物线方程，求得交点，再由两点的距离公式计算即可得到．

解答 解：直线$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=4-t}\end{array}\right.$即为y=6-x，
代入抛物线方程，可得（6-x）²=4x，
解得x=8-2$\sqrt{7}$或8+2$\sqrt{7}$，
即有交点为（8-2$\sqrt{7}$，2$\sqrt{7}$-2），（8+2$\sqrt{7}$，-2$\sqrt{7}$-2），
则它们与A的距离之和为$\sqrt{（6-2\sqrt{7}）^{2}+（6-2\sqrt{7}）^{2}}$+$\sqrt{（6+2\sqrt{7}）^{2}+（6+2\sqrt{7}）^{2}}$
=12$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线的参数方程和普通方程的互化，考查直线方程和抛物线方程联立，求得交点，同时考查两点的距离公式的运用，本题也可运用参数的几何意义解决，属于中档题．