Question

18．设i是虚数单位，那么使得${（-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i）^n}=1$的最小正整数n的值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由已知$（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}$=$-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）（-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i）$=$（-\frac{1}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$=1；由此得到答案．

解答 解：因为已知$（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}$=$-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，
$（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）（-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i）$=$（-\frac{1}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$=1；
故$（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{3}$=1；
故选B．

点评 本题考查了复数的运算；对于已知$（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}$=$-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）（-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i）$=$（-\frac{1}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$=1经常用到．