Question

19．若函数y=f（x）满足，存在x₀≠0，x₀≠$\frac{1}{x_0}$，使$f（{x_0}）=f（\frac{1}{x_0}）=0$，则x₀叫做函数y=f（x）的“基点”，已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1存在“基点”，则a²+（b-2）²的取值范围是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． [4，+∞）
• C． [8，+∞）
• D． [10，+∞）

Answer 1

分析 根据“基点”的定义建立方程关系得到a=b，然后利用一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：设x₀是函数f（x）=x³+ax²+bx+1的“基点”，
则满足x₀³+ax₀²+bx₀+1=0且（$\frac{1}{{x}_{0}}$）³+a（$\frac{1}{{x}_{0}}$）²+b•$\frac{1}{{x}_{0}}$+1=0，
整理得x₀³+bx₀²+ax₀+1=0，
则两个方程为同解方程，即a=b，
则a²+（b-2）²=a²+（a-2）²=2（a-1）²+2≥2，
即a²+（b-2）²的取值范围是[2，+∞），
故选：A

点评 本题主要考查函数和方程的应用，根据同解求出a=b是解决本题的关键．