Question

已知抛物线y²=2px，过顶点的两弦OA和OB互相垂直，求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析：设出A，B坐标；利用向量垂直的充要条件得到A，B纵坐标的乘积是常数；写出以OA，OB为直径的圆；将A，B点的纵坐标看成一个方程的两个根，利用韦达定理表示出A，B的纵坐标乘积；列出等式得到p的轨迹方程．

解答：解：设A(

y12

2p

，y1)，B(

y22

2p

，y2)由于OA⊥OB
所以

y12•y22

4p2

+y1y2=0即y₁•y₂=-4p²   ①
以OA为直径的圆为x(x-

y12

2p

)+y(y-y1)=0
以OB为直径的圆为x(x-

y22

2p

)+y(y-y2)=0
设P（x₀，y₀）为两圆的交点
所以y₁，y₂可以看做关于z的方程x0(x0-

z2

2p

)+y0(y0-z)=0的两个根
即x₀z²+2py₀z-2p（x₀²+y₀²）=0
由韦达定理得y1•y2= -

2p(x02+y02)

x0

结合①得x₀²+y₀²=2px₀
所以P的轨迹方程是（x-p）²+y²=p²（x≠0）

点评：本题考查向量垂直的充要条件、以一线段为直径的圆的方程、二次方程的根与系数的关系．