Question

已知函数f（x）=

1

2

（sin²x-cos²x+

3

）-

3

sin²（x-

π

4

），x∈R．
（1）求函数f（x）的弹道递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，b=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性确定出f（x）的递增区间即可；
（2）f（B）=1，求出B的度数，利用余弦定理列出关系式，把b，cosB的值代入，并利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

（

3

-cos2x）-

3

2

[1-cos（2x-

π

2

）]=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（2）由f（B）=1，得到sin（2B-

π

6

）=1，
∴2B-

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤4，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

，
则△ABC的面积的最大值为

3

．

点评：此题考查了余弦定理，正弦函数的单调性，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．