Question

12．已知定义在（0，+∞）上连续可导的函数f（x）满足xf'（x）+f（x）=x，且f（1）=1，则（　　）

• A． f（x）是增函数
• B． f（x）是减函数
• C． f（x）有最大值1
• D． f（x）有最小值1

Answer 1

分析 由题意可知：两边积分，及f（1）=1，即可求得f（x）的解析式，利用导数，即可求得函数的单调性及最值．

解答 解：由题意可知：xf'（x）+f（x）=x，则[xf（x）]′=x，两边积分可知：∫[xf（x）]′dx=∫xdx，则xf（x）=$\frac{1}{2}$x²+C，
则f（x）=$\frac{1}{2}$x+$\frac{C}{x}$，（x＞0），
由f（1）=1，
则C=$\frac{1}{2}$，则f（x）=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2x}$，
则f′（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$，
令f′（x）=0解得：x=1，
当f′（x）＞0，解得：x＞1，
当f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，
∴当x=1时，f（x）取最小值，最小值为1，
故选：D．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，利用积分法求函数的解析式，考查转化思想，属于中档题．