Question

根据所给条件求下列曲线的方程：
（1）顶点在原点，对称轴为x轴，并经过点P（-6，-3）的抛物线方程．
（2）已知：点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-

1

3

．求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意设抛物线方程为y²=2px （p＞0），将点P坐标代入求出p值，即得所求抛物线方程；
（2）根据点A坐标，算出B得坐标为（1，-1）．由k_AP•k_BP=-

1

3

，利用经过两点的直线斜率公式，列式化简可得x²+3y²=4（x≠±1），即为所求动点P的轨迹方程．

解答：解：（1）依题设抛物线方程为y²=2px （p＞0）
将点P（-6，-3）代人，得（-3）²=2p×（-6），解之得p=

3

4

，
∴所求抛物线方程为：y²=

3

2

x；
（2）∵点B与A（-1，1）关于原点对称，∴点B得坐标为（1，-1）．
设点P的坐标为（x，y），得
直线AP的斜率为k_AP=

y-1

x+1

；直线BP的斜率为k_BP=

y+1

x-1

∵直线AP与BP的斜率之积等于-

1

3

∴

y-1

x+1

•

y+1

x-1

=-

1

3

，化简得x²+3y²=4（x≠±1）．
即动点P的轨迹方程为x²+3y²=4（x≠±1）．

点评：本题求满足条件的抛物线方程，并求动点P的轨迹方程．着重考查了抛物线的定义与标准方程、动点轨迹方程的求法等知识，属于基础题．