Question

已知过点M（a，0）（a>0）的动直线l交抛物线y²=4x于A，B两点，点N与点M关于y轴对称。

（1）当a=1时，求证：∠ANM=∠BNM；
（2）对于给定的正数a，是否存在直线l'：x=m，使得l'被以AM为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线l'的方程；如果不存在，试说明理由。

Answer 1

解：（1）设l：x-1=ny，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
得y²-4ny-4=0，
y₁+y₂=4n，y₁y₂=-4


，

∴∠ANM=∠BNM。
（2）设点A（x，y），则以AM为直径的圆的圆心为，
假设满足条件的直线l存在，直线l'被圆O'截得的弦为EF，
则
=x²-2ax+a²+4x-4m²+4m（x+a）-x²-2ax-a²
=（4m-4a+4）x+4ma-4m²
弦长|EF|为定值，则4m-4a+4=0，即m=a-1，
此时|EF|²=4m（a-m）=4（a-1），
所以当a>1时，存在直线l：x=a-1，截得的弦长为
当0＜a≤1时，不存在满足条件的直线l'。