Question

设椭圆E：-=1（a＞b＞0）的离心率为，已知A（a，0），B（0，-b），且原点O到直线AB的距离为
（Ⅰ）  求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知过点M（1，0）的直线交椭圆E于C，D两点，若存在动点N，使得直线NC，NM，ND的斜率依次成等差数列，试确定点N的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由e=可得a，b之间的关系，由已知可求知直线AB的方程为x-yb=0，根据点到直线的距离公式可得，从而可求a，b，进而可求椭圆的方程
（II）可先设直线CD的方程为x=ky+1，联立方程可得（k²+2）y²+2ky-3=0，设N（x，y）
K_NC+K_ND===，整理可求
解答：解：（I）由得（2分）
由点A（a，0），B（0，-b）知直线AB的方程为x-yb=0
因此，b=2，a=（4分）
椭圆方程为（5分）
（II）设直线CD的方程为x=ky+1
联立方程可得（k²+2）y²+2ky-3=0
故（7分）设N（x，y）
K_NC+K_ND==

==（10分）
6+2（1-x）=0可得x=4（13分）
代入①可得，回代②可得，由此说明N的轨迹为直线x=4（15分）
6+2（1-x）=0可得x=4（13分）
代入①可得，回代②可得，由此说明N的轨迹为直线x=4（15分）
点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆相交关系的转化及方程思想的应用，本题的难点是圆锥曲线与直线联立中方程的求解中的计算．