Question

已知：函数f（x）=|x-1|+|x-2|
（I）求不等式f（x）≤2的解集
（II）对于任意的实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（I）函数f（x）=|x-1|+|x-2|表示数轴上x对应点到1和2对应点距离之和，而

1

2

和

5

2

在数轴上的对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，由此求得不等式f（x）≤2的解集．
（II）由题意可得

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值大于或等于f（x），由绝对值不等式的性质可得

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值为2，故有 2≥f（x），由（I）可得它的解集．

解答：解：（I）函数f（x）=|x-1|+|x-2|表示数轴上x对应点到1和2对应点距离之和，
而

1

2

 和

5

2

在数轴上的对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，故不等式f（x）≤2的解集为[

1

2

，

5

2

]．
（II）对于任意的实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）恒成立，
故

|a+b|+|a-b|

|a|

≥f（x）恒成立，故

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值大于或等于f（x）．
由于

|a+b|+|a-b|

|a|

≥

|a+b+a-b|

|a|

=2，故有 2≥f（x），即|x-1|+|x-2|≤2．
由（I）可知，不等式f（x）≤2的解集为[

1

2

，

5

2

]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．